Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Разные задачи
Пример 31. Найти все функции f(x) такие, что
f(x) =
max y О R
[xy-f(y)].
Решение. Так как
f(x) =
max y О R
[xy-f(y)],
то при любом y О R выполняется неравенство f(y) і xy-f(y),
отсюда f(x)+f(y) і xy. Положив здесь y = x, получим
f(x) і
x2
2
.
(1)
Умножив неравенство (1) на -1 и заменив x на y, имеем
-f(y) Ј -
y2
2
,
откуда
xy-f(y) Ј xy-
y2
2
.
В последнем неравенстве будем рассматривать функции, стоящие в его левой и
правой частях, как функции относительно y, а x будем считать
параметром. Тогда график функции, записанной в левой части,
расположен ниже (по крайней мере, не выше) графика функции в
правой части неравенства. То же самое можно сказать и о точках
максимума этих двух функций (в самом деле, значение левой
функции в точке, в которой достигается максимум, меньше
значения правой функции в той же самой точке, которое в свою
очередь меньше максимального значения правой функции).
Следовательно,
max y О R
(xy-f(y)) Ј
max y О R
ж з
и
xy-
y2
2
ц ч
ш
.
В левой части (2) согласно условию стоит функция f(x), в правой
же имеем
x·x-
x2
2
=
x2
2
,
так как максимум параболы
xy-
y2
2
достигается в её вершине при y = x.
Таким образом, (2) преобразуется к виду
f(x) Ј
x2
2
.
(3)
Сравнивая условия (1) и (3) находим окончательно, что
f(x) =
x2
2
.
Пример 32. Функция f задана на множестве рациональных
чисел и сама принимает рациональные значения. Доказать, что
если для любых двух рациональных чисел x и y выполнено
равенство
f(x+f(y)) = f(x)·f(y),
то f есть константа.
Решение. Если для некоторого y имеем f(y) = 0, то из
равенства в условии следует, что f(x) є 0.
Положим теперь f(y) № 0 для любого y. Прежде всего покажем,
что существует такое рациональное число r, что f(r) = 1. Выберем
произвольное рациональное число y и подставим в равенство,
данное в условии, x = y-f(y), получим
f(y) = f(y-f(y))·f(y).
Так как f(y) № 0, то f(y-f(y)) = 1, так что можно взять r = y-f(y).
Тогда для любого рационального x имеем
f(x+f(r)) = f(x)·f(r),
т.е. f(x+1) = f(x). Отсюда по индукции следует, что
f(x+n) = f(x)
(4)
для любого целого n. По индукции также получаем, что
f(nf(x)) = f(0)(f(x))n
для всех натуральных n. Пусть y - произвольное
рациональное число и f(y) = p/q, где p и q - целые и q > 0. Из
полученного результата следует
f(p) = f(qf(y)) = f(0)(f(y))q.
Но так как вследствие (4) f(p) = f(0) № 0, то f(y) = ±1.
Предположим, что f(y) = -1, тогда ввиду данного в условии
равенства f(x-1) = -f(x), откуда с учётом (4) получаем f(x) = 0. Это
противоречит условию, что f(y) № 0 для всякого y. Поэтому
f(y) № -1.
Итак, доказано, что f - константа (равная либо 0, либо 1).
